Question

8．如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面是邊長為2的正方形，PA⊥底面ABCD，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，MQ⊥PD于Q，直線PC與平面PBA所成的角的正弦為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（1）求PA的長；
（2）求二面角P-MN-Q的大��；
（3）求點(diǎn)M到平面PNQ的距離．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥平面PAB，可得PC與平面PBA所成的角的正弦為$\frac{BC}{PC}$，求出PC，再求出PA的長；
（2）證明∠PMQ為二面角P-MN-Q的平面角，即可求二面角P-MN-Q的大�。�
（3）作MH⊥NQ于H點(diǎn)，利用等面積法求點(diǎn)M到平面PNQ的距離．

解答 解：（1）由PA⊥底面ABCD知，PA⊥BC，
又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB．
故PC與平面PBA所成的角的正弦為$\frac{BC}{PC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PC=2$\sqrt{3}$．
Rt△PAC中，PA=$\sqrt{12-8}$=2；
（2）由M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，∴MN⊥AD，
又MN⊥PA，PA∩AD=A，∴MN⊥平面PAD．
∴MN⊥MP，MN⊥MQ，
故∠PMQ為二面角P-MN-Q的平面角．
由MQ⊥PD，在Rt△PMQ中，PM=$\sqrt{5}$，MQ=MDsin∠ADP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故cos∠PMQ=$\frac{MQ}{PM}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴二面角P-MN-Q的大小為arccos$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（3）作MH⊥NQ于H點(diǎn)，
由MN⊥PD，MQ⊥PD，∴PD⊥平面MNQ
∴平面MNQ⊥平面PNQ
又MH⊥NQ，∴MH⊥平面PNQ
點(diǎn)M到平面PNQ的距離即為MH．
在Rt△MNQ中，MN=2，MQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，NQ=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴MH=$\frac{MN•MQ}{NQ}$=$\frac{2}{3}$
∴點(diǎn)M到平面PNQ的距離為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面角，考查平面與平面所成的角，考查點(diǎn)M到平面PNQ的距離，正確找出線面角是關(guān)鍵．