Question

己知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），點A（2，0）在橢圓C上，過F點的直線l與橢圓C交于不同兩點M，N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l斜率為1，求線段MN的長；
（Ⅲ）設線段MN的垂直平分線交y軸于點P（0，y₀），求y₀的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓右焦點為F（1，0），點A（2，0）在橢圓C上，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l的方程為：y=x-1，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合弦長公式，可求線段MN的長；
（Ⅲ）分類討論，設直線MN的方程為y=k（x-1）（k≠0），代入橢圓方程，求出線段MN的垂直平分線方程，令x=0，得y0=

3k

3+4k2

=

1

3 k +4k

，利用基本不等式，即可求y的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意：c=1，a=2，b²=a²-c²=3，
所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．                                            （3分）
（Ⅱ）由題意，直線l的方程為：y=x-1．
由

y=x-1 x2 4 + y2 3 =1

得7x²-8x-8=0，x1+x2=

8

7

，  x1x2=-

8

7

，
所以|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

24

7

．                                       （7分）
（Ⅲ）當MN⊥x軸時，顯然y₀=0．
當MN與x軸不垂直時，可設直線MN的方程為y=k（x-1）（k≠0）．
由

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

消去y整理得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點為Q（x₃，y₃），
則x1+x2=

8k2

3+4k2

．
所以x3=

x1+x2

2

=

4k2

3+4k2

，y3=k(x3-1)=

-3k

3+4k2

線段MN的垂直平分線方程為y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)
在上述方程中令x=0，得y0=

3k

3+4k2

=

1

3 k +4k

．
當k＜0時，

3

k

+4k≤-4

3

；當k＞0時，

3

k

+4k≥4

3

．
所以-

3

12

≤y0＜0，或0＜y0≤

3

12

．
綜上，y₀的取值范圍是[-

3

12

，

3

12

]．                                     （10分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查基本不等式的運用，確定線段MN的垂直平分線方程是關鍵．