Question

13．求橢圓在點（asinθ，bcosθ ）處的切線方程．

Answer 1

分析 不妨設(shè)橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$時，橢圓的切線方程為：x=±a．當(dāng)θ≠$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$時，設(shè)切線方程為y-bcosθ=k（x-asinθ），
把y=bcosθ+k（x-asinθ）代入橢圓方程可得：（b²+a²k²）x²+2a²k（bcosθ-aksinθ）x+a²（bcosθ-aksinθ）²-a²b²=0，利用△=0，解出k即可得出．

解答 解：不妨設(shè)橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$時，橢圓的切線方程為：x=±a．
當(dāng)θ≠$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$時，設(shè)切線方程為y-bcosθ=k（x-asinθ），
把y=bcosθ+k（x-asinθ）代入橢圓方程可得：（b²+a²k²）x²+2a²k（bcosθ-aksinθ）x+a²（bcosθ-aksinθ）²-a²b²=0，
∵△=4a⁴k²（bcosθ-aksinθ）²-4（b²+a²k²）[a²（bcosθ-aksinθ）²-a²b²]=0，
化為k=$\frac{b（cosθ±1）}{asinθ}$
∴切線方程為y-bcosθ=$\frac{b（cosθ±1）}{asinθ}$（x-asinθ）．
綜上可得：橢圓的切線方程為：x=±a或y-bcosθ=$\frac{b（cosθ±1）}{asinθ}$（x-asinθ）．

點評 本題考查了橢圓的切線方程求法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．