【題目】如圖,是底面邊長為1的正三棱錐,分別為棱長上的點(diǎn),截面底面,且棱臺與棱錐的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)
(1)證明:為正四面體;
(2)若,求二面角的大。唬ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
(3)設(shè)棱臺的體積為,是否存在體積為且各棱長均相等的直平行六面體,使得它與棱臺有相同的棱長和?若存在,請具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)直平行六面體,并給出證明;若不存在,請說明理由.
(注:用平行于底的截面截棱錐,該截面與底面之間的部分稱為棱臺,本題中棱臺的體積等于棱錐的體積減去棱錐的體積.)
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)存在,證明見解析.(注:所構(gòu)造直平行六面體不唯一,只需題目滿足要求即可)
【解析】
(1)根據(jù)棱長和相等可知,根據(jù)面面平行關(guān)系和棱錐為正三棱錐可證得,進(jìn)而證得各棱長均相等,由此得到結(jié)論;(2)取的中點(diǎn),連接,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和線面垂直判定定理可證得平面,由線面垂直性質(zhì)可知,從而得到即為所求二面角的平面角;易知,從而得到,在中根據(jù)長度關(guān)系可求得,從而得到結(jié)果;(3)設(shè)直平行六面體的棱長均為,底面相鄰兩邊夾角為,根據(jù)正四面體體積為,可驗(yàn)證出;又所構(gòu)造六面體體積為,知,只需滿足即可滿足要求,從而得到結(jié)果.
(1)棱臺與棱錐的棱長和相等
平面平面,三棱錐為正三棱錐
為正四面體
(2)取的中點(diǎn),連接
, ,
平面, 平面
平面
為二面角的平面角
由(1)知,各棱長均為
為中點(diǎn)
即二面角的大小為:
(3)存在滿足題意的直平行六面體,理由如下:
棱臺的棱長和為定值,體積為
設(shè)直平行六面體的棱長均為,底面相鄰兩邊夾角為
則該六面體棱長和為,體積為
正四面體體積為:
時(shí),滿足要求
故可構(gòu)造棱長均為,底面相鄰兩邊夾角為的直平行六面體即可滿足要求
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若f (x)在區(qū)間(-∞,2)上為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若a=0,x0<1,設(shè)直線y=g(x)為函數(shù)f (x)的圖象在x=x0處的切線,求證:f (x)≤g(x).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】未來創(chuàng)造業(yè)對零件的精度要求越來越高.打印通常是采用數(shù)字技術(shù)材料打印機(jī)來實(shí)現(xiàn)的,常在模具制造、工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域被用于制造模型,后逐漸用于一些產(chǎn)品的直接制造,已經(jīng)有使用這種技術(shù)打印而成的零部件.該技術(shù)應(yīng)用十分廣泛,可以預(yù)計(jì)在未來會有發(fā)展空間.某制造企業(yè)向高校打印實(shí)驗(yàn)團(tuán)隊(duì)租用一臺打印設(shè)備,用于打印一批對內(nèi)徑有較高精度要求的零件.該團(tuán)隊(duì)在實(shí)驗(yàn)室打印出了一批這樣的零件,從中隨機(jī)抽取個(gè)零件,度量其內(nèi)徑的莖葉圖如圖(單位:).
(1)計(jì)算平均值與標(biāo)準(zhǔn)差;
(2)假設(shè)這臺打印設(shè)備打印出品的零件內(nèi)徑服從正態(tài)分布,該團(tuán)隊(duì)到工廠安裝調(diào)試后,試打了個(gè)零件,度量其內(nèi)徑分別為(單位:):、、、、,試問此打印設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試?為什么?
參考數(shù)據(jù):,,,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離分別是3,3,6,則其重心到平面的距離為__________.(寫出所有可能值)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,為雙曲線的頂點(diǎn),為雙曲線虛軸的端點(diǎn),為右焦點(diǎn),延長與交于點(diǎn),若是銳角,則該雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進(jìn)行促銷:一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會得到支付款的80%.
①當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;
②在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,則x的最大值為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,圓F:和拋物線,過F的直線與拋物線和圓依次交于A、B、C、D四點(diǎn),求的值是( )
A.1B.2C.3D.無法確定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線過點(diǎn),其參數(shù)方程為(為參數(shù), ),以為極點(diǎn), 軸非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)求已知曲線和曲線交于兩點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于定義域?yàn)?/span>D的函數(shù),若同時(shí)滿足下列條件:①在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;②存在區(qū)間,使在上的值域?yàn)?/span>.那么把稱為閉函數(shù).下列結(jié)論正確的是( )
A.函數(shù)是閉函數(shù)
B.函數(shù)是閉函數(shù)
C.函數(shù)是閉函數(shù)
D.時(shí),函數(shù)是閉函數(shù)
E.時(shí),函數(shù)是閉函數(shù)
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