已知在△ABC中，角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，若asin（
π
2
-C），bsin（
π
2
-B），csin（
π
2
-A）依次成等差數(shù)列．
（1）求角B；
（2）如果△ABC的外接圓的面積為π，求△ABC面積的最大值．
考點(diǎn)：正弦定理,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
專題：計(jì)算題,解三角形
分析：（1）利用asin（
π
2
-C），bsin（
π
2
-B），csin（
π
2
-A）依次成等差數(shù)列，結(jié)合正弦定理，即可求出角B；
（2）由△ABC的外接圓的面積為π，求出半徑，利用正弦定理可得b，再利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可求△ABC面積的最大值．
解答： 解：（1）∵asin（
π
2
-C），bsin（
π
2
-B），csin（
π
2
-A）依次成等差數(shù)列，
∴asin（
π
2
-C）+csin（
π
2
-A）=2bsin（
π
2
-B），
∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
∴sin（A+C）=2sinBcosB，
∴cosB=
1
2
，∴B=
π
3
；
（2）∵△ABC的外接圓的面積為π，
∴r=1，
∴b=2rsinB=
3
，
∴3=a2+c2-2accosB≥ac，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，取等號(hào)，即ac的最大值為3，
∴△ABC面積的最大值為
1
2
acsinB=
3
3
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查基本不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知傾斜角為
π
4
的直線l過點(diǎn)P（-2，-4），與拋物線y2=2px（p＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，若|PA|，|AB|，|PB|成等比數(shù)列，試求此拋物線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，焦距為4，且過點(diǎn)，（
5
3
，2）求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在此橢圓上，則△PF1F2的周長是（　�。�
A、20B、18C、16D、14

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)P(-
1
2
，
3
8
)的距離和到直線y=-
5
8
的距離相等，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知0≤x≤2π，求適合下列條件的角x的集合：
（1）y=sinx和y=cosx都是增函數(shù)；
（2）y=sinx和y=cosx都是減函數(shù)；
（3）y=sinx和y=cosx都是減函數(shù)；
（4）y=sinx是減函數(shù)，而y=cosx是增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是圓x2+y2=4上一動(dòng)點(diǎn)，PD⊥x軸于點(diǎn)D．記滿足
OM
=
1
2
（
OP
+
OD
）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為T．
（1）求證：軌跡T是橢圓，并寫出方程；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為k的直線過T的右焦點(diǎn)，且與T交于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），若
x1x2
a2
+
y1y2
b2
=0（a，b分別是T的長半軸與短半軸長），求△AOB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

曲線f（x）=
x+1
x-1
在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程為（　�。�
A、x-2y+1=0
B、x+2y-7=0
C、2x-y-4=0
D、2x+y-8=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計(jì)算：16-x03+3x0=（3x02-3）（0-x0）

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同步練習(xí)冊(cè)答案