Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P是圓x²+y²=4上一動點，PD⊥x軸于點D．記滿足

OM

=

1

2

（

OP

+

OD

）的動點M的軌跡為T．
（1）求證：軌跡T是橢圓，并寫出方程；
（2）O為坐標(biāo)原點，斜率為k的直線過T的右焦點，且與T交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=0（a，b分別是T的長半軸與短半軸長），求△AOB的面積．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：本題（1）根據(jù)點P與M的坐標(biāo)關(guān)系，利用點P在已知圓上，通過代入法，求出所得曲線的方程，得到本題結(jié)論；（2）由點斜式設(shè)出直線的方程，利用韋達定理結(jié)合條件“

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=0”，求出k的值，再利用弦長公式、點線距離公式分別求出邊長和高，得到△AOB的面積，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），M（x′，y′）．
∵PD⊥x軸于點D．記滿足

OM

=

1

2

（

OP

+

OD

）
∴

x0=x′ y0=2y′

，
∵點P在圓x²+y²=4上
∴x02+y02=4，
∴x′²+4y′²=4，
∴

x′2

4

+y′2=1，
即軌跡T是橢圓，橢圓方程為：

x2

4

+y2=1．
（2）記a，b分別是T的長半軸與短半軸長，c為半焦距長，
由（1）知：a²=4，b²=1，
∴c²=3，c=

3

．
∵斜率為k的直線l過T的右焦點，
∴線l的方程為：y=k（x-

3

）．
由

y=k(x- 3 ) x2 4 +y2=1

，
得到：(4k2+1)x2-8

3

k2x+12k2-4=0，
∴x₁x₂=

12k2-4

4k2+1

，x₁+x₂=

8 3 k2

4k2+1

，
∵直線l與T交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=0，
∴x₁x₂+4y₁y₂=0，
∵y1=k(x1-

3

)，
y 2=k(x2-

3

)，
∴（4k²+1）x₁x₂-4

3

k²（x₁+x₂）+12k²=0，
∴k2=

1

2

，
∴k=±

2

2

．
由雙曲線的對稱，不妨取k=

2

2

．
則：直線方程為：x-

2

y-

3

=0．
x₁x₂=

2

3

，x₁+x₂=

4 3

3

．
弦長|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=2．
原點O（0，0）到直線的距離為：d=

|0-0- 3 |

1+2

=1，
∴△AOB的面積為：

1

2

×1×2=1，
∴∴△AOB的面積為1．

點評：本題考查橢圓方程的求法、曲線方程的證明，考查韋達定理、弦長公式、點線距離公式、三角形面積的求法，解題時要認真審題，注意弦長公式的合理運用．