Question

如圖，BA是⊙O的直徑，AD是切線，BF、BD是割線，求證：BE•BF=BC•BD．

 

Answer 1

【答案】

連接CE，過B作⊙O的切線BG，則BG∥AD

                      ∴∠GBC=∠FDB，又∠GBC=∠CEB    ∴∠CEB=∠FDB-----------5分

                      又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角     ∴△BCE∽△BDF ∴，

                      即BE•BF=BC•BD…………10分

                      證法二：連接AC、AE，∵AB是直徑，AC是切線    ∴AB⊥AD，AC⊥BD，∠CEB=∠CAB

∵在中，∠CAB=,在中，∠D=

∠CAB=∠D, ∠CEB=∠D----------------5分

C,E,F,D四點共圓∴BE•BF=BC•BD…………10分

證法三：連接AC、AE，∵AB是直徑，AC是切線   ∴AB⊥AD，AC⊥BD，AE⊥BF------3分

由射線定理有AB²=BC•BD，AB²=BE•BF-------9分    ∴BE•BF=BC•BD

【解析】采用分析法找到解題途徑：