Question

1．過點P（2，1）作直線l分別與x，y軸正半軸交于A、B兩點．
（1）當△AOB面積最小時，求直線l的方程；
（2）當|OA|+|OB|取最小值時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設A（a，0），B（0，b）（a，b＞0）．直線l的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，把點P（2，1）代入可得$\frac{2}{a}+\frac{1}=1≥2\sqrt{\frac{2}{ab}}$，所以利用基本不等式即可得出．
（2）|OA|+|OB|=$a+b=（a+b）（\frac{2}{a}+\frac{1}=1）=3+\frac{a}+\frac{2b}{a}≥3+2\sqrt{2}$，即由基本不等式等號成立的條件可得直線的方程．

解答 解：設A（a，0），B（0，b）（a，b＞0）．
（1）設直線方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，
代入P（2，1）得$\frac{2}{a}+\frac{1}=1≥2\sqrt{\frac{2}{ab}}$，
得ab≥8，從而${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}ab≥4$，
此時$\frac{2}{a}=\frac{1}$，$k=-\frac{a}=-\frac{1}{2}$．
∴方程為x+2y-4=0．
（2）$a+b=（a+b）（\frac{2}{a}+\frac{1}=1）=3+\frac{a}+\frac{2b}{a}≥3+2\sqrt{2}$，
此時$\frac{a}=\frac{2b}{a}$，$k=-\frac{a}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∴方程為$x+\sqrt{2}y-2-\sqrt{2}=0$．

點評 本題考查直線的截距式方程，涉及基本不等式求最值，屬中檔題．