Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁的中點(diǎn)，AC=1，AA₁=BC=2．
（1）求證：BC₁⊥平面AB₁C；
（2）求三棱錐C-AB₁E的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°得出BC⊥AC，AC⊥CC₁，即證AC⊥BC₁，BC⊥BC₁，得證BC₁⊥平面AB₁C；
（2）轉(zhuǎn)化V C-AB1E=V B1-AEC求解即可．

解答： （1）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°
∴BC⊥AC，AC⊥CC₁，CC₁⊥BC，
∴AC⊥面B₁BCC₁，
∵BC₁?平面B₁BCC₁，
∴AC⊥BC₁，
∵AA₁=BC=2．
∴BC⊥BC₁，
∵AC∩B₁C=C，
∴BC₁⊥平面AB₁C；
（2）∵BB₁∥平面A₁ACC₁，
∴B，B₁到平面A₁ACC₁的距離相等，
∵BC⊥AC，BC⊥CC₁，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴V C-AB1E=V B1-AEC=

1

3

×

1

2

×AC×EC×h=

1

3

×

1

2

×1×1×2=

1

3

，

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線，平面的垂直與轉(zhuǎn)化，體積求解，屬于中檔題．