Question

（本小題滿分13分）如圖，四棱錐中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2AB=2BC=2.

（1）求三棱錐的外接球的體積；

（2）求二面角與二面角的正弦值之比.

Answer 1

（1）;（2）.

【解析】

試題分析：（1）由題意可知，且平面，所以三棱錐的外接球的球隊(duì)心為中點(diǎn)，又直徑，可求外接球體積；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求出二面角與二面角的的余弦值，再分別求出其正弦值即可.

試題解析：（1）連接AC，則AC⊥CD，

又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，

∴CD⊥平面PAC，

又PC平面PAC，

∴∠PCD=90°，（2分）

而∠PAD=90°，

從而三棱錐P-ACD外接球的球心為PD中點(diǎn)E.（4分）

直徑，

所以三棱錐P-ACD外接球的體積

.（6分）

（2）建立坐標(biāo)系，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，

分別為軸正方向，

則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）

.

設(shè)平面PBC的法向量，則即

∴=（1，0，1）

由（1）知CD⊥平面PAC，故平面PAC的一個(gè)法向量為=（-1，1，0），（8分）

所以.

二面角B-PC-A的大小為，其正弦值為，（10分）

由CD⊥平面PAC，得平面PCD⊥平面PAC，二面角A-PC-D為直二面角，其正弦值為1，（12分）

綜上，二面角B—PC—A與二面角A—PC—D的正弦值之比為.（13分）

考點(diǎn)：空間線面垂直判定與性質(zhì)、空間向量的應(yīng)用.