Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，其中a為常數(shù)，設(shè)e為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ) 當(dāng)a=-1時，求f（x）的最大值；
(Ⅱ) 若f（x）在區(qū)間（0，e］上的最大值為-3，求a的值；
（Ⅲ）  當(dāng)a=-1 時，試推斷方是否有實數(shù)解.

Answer 1

解：(1) 當(dāng)a=-1時，f（x）=-x+lnx，
f′(x)′=
當(dāng)0<x<1時，f′(x)>0；
當(dāng)x>1時，f′(x)<0.
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)
f（x_）max=f（1）=-1
(2) ∵f′(x)′=a+，x∈(0,e］，
① 若a≥-，則f′′(x)≥0，從而f(x)在(0,e］上增函數(shù)
∴f（x_）max=f（e）=ae+1≥0.不合題意
② 若，則由f′(x)′>0，
即0<x<
由f(x)<0，即<x≤e.
從而f(x)在上增函數(shù),在為減函數(shù)
∴
令-1+ln，則ln=-2
∴，即a=.
∵
∴a=-e²
(3) 由（1）知當(dāng)a=-1時f（x）_max=f（1）=-1，∴|f（x）|≥1
又令，
令g′(x)=0，得x=e,
當(dāng)0<x<e時，g′(x)>0,g(x)  在(0,e)單調(diào)遞增；
當(dāng)x>e時,g′(x)<0，g(x) 在(e,+∞)單調(diào)遞減
∴
∴g(x)<1
∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|>
∴方程|f（x）|=沒有實數(shù)解.