Question

 如圖，已知點(diǎn)，且的內(nèi)切圓方程為.

（1）   求經(jīng)過三點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）   過橢圓上的點(diǎn)作圓的切線，求切線長(zhǎng)最短時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)和切線長(zhǎng)。

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，------------------1分

依題意知直線AB的斜率存在，故設(shè)直線AB：y=k（x+4）         ------------------2分

因圓的圓心為（2，0），半徑，又因?yàn)橹本�AB與圓相切

所以，圓心為（2，0）到直線AB的距離為------------------3分

解得（為直線AC的斜率）

所以直線AB的方程為，------------------4分

又因?yàn)锳B=AC，點(diǎn)A(-4,0)在x軸上，所以B點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

把代入直線AB的方程解得，------------------5分

把A(-4,0)，代入橢圓方程得，解得m=16，n=分

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.------------------7分

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M，則圓心（2，0）與點(diǎn)M的距離為 -8分

切線長(zhǎng)，，--10分

當(dāng)時(shí)，，                 ------------------12分

此時(shí)，從而點(diǎn)的坐標(biāo)為           ------------------14分

解法二：(Ⅰ)因?yàn)锳B=AC，點(diǎn)A(-4,0)在x軸上，且的內(nèi)切圓方程為，

所以B點(diǎn)橫坐標(biāo)為， -----------------1分

如圖，由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)知∽

∴即，從而------------------3分

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程為，則將A(-4,0)，代入橢圓方程得，解得=16，=1 ，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為--5分

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程為，則將A(-4,0)，代入橢圓方程得，解得=16，=與矛盾----------6分

綜上所述，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.------------------7分

(Ⅱ) 依題意設(shè)點(diǎn)M，則圓心（2，0）與點(diǎn)M的距離為   ------8分

則切線長(zhǎng)，而，---------10分

當(dāng)時(shí)，，-----12分

此時(shí)，從而點(diǎn)的坐標(biāo)為 -----14分