Question

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(Ⅱ)若，證明： ，總有.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)； (Ⅱ)見解析.

【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,則導(dǎo)函數(shù)存在小于0的取值區(qū)間，不等式變形后，問題轉(zhuǎn)化為存在取值區(qū)間，求出a的范圍即可；

（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為證對(duì)x∈恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=e2x+1-（2x+2），x∈[1，]，求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性證明；構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性證明；并且g（x）和h（x）不能同時(shí)取等號(hào)，即可證明不等式，恒成立.故原不等式恒成立.

(Ⅰ)由題意得，

若函數(shù)存在單調(diào)減區(qū)間，則。

即存在取值區(qū)間，即存在取值區(qū)間，

所以.

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，

由有，從而，

要證原不等式成立，只要證對(duì)恒成立

即證明對(duì)恒成立

首先令，由，可知，

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，

所以，有

構(gòu)造函數(shù)，，

因?yàn)?/span>，

可見，在時(shí)，，即在上是減函數(shù)，

在時(shí)，，即在上是增函數(shù)，

所以,在上，，所以.

所以，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，

綜上：，由于取等條件不同，

故，所以原不等式成立.