Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝x³－6x＋5，x∈R．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝a有三個不同的實根，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)已知當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f(x)≥k(x－1)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值；(2)由(1)的結(jié)論，問題轉(zhuǎn)化為y＝f(x)和y＝a的圖象有3個不同的交點，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解；(3)將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，利用分離參數(shù)法求解． 　　(1)(x)＝3x2－6，令(x)＝0，解得x1＝－，x2＝．因為當(dāng)x＞或x＜－時，(x)＞0； 　　當(dāng)－＜x＜時，(x)＜0． 　　所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)和(，＋∞)；單調(diào)減區(qū)間為(－，)． 　　當(dāng)x＝－時，f(x)有極大值5＋4，當(dāng)x＝時，f(x)有極小值5－4． 　　(2)由(1)的分析知y＝f(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示，當(dāng)5－4＜a＜5＋4時，直線y＝a與y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，即方程f(x)＝a有三個不同的解． 　　(3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．因為x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立． 　　令g(x)＝x2＋x－5，g(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)，所以g(x)＞g(1)＝－3． 　　所以k的取值范圍是k≤－3．