【題目】某次數(shù)學(xué)知識比賽中共有6個不同的題目，每位同學(xué)從中隨機(jī)抽取3個題目進(jìn)行作答，已知這6個題目中，甲只能正確作答其中的4個，而乙正確作答每個題目的概率均為，且甲、乙兩位同學(xué)對每個題目的作答都是相互獨立、互不影響的.

（1）求甲、乙兩位同學(xué)總共正確作答3個題目的概率；

（2）若甲、乙兩位同學(xué)答對題目個數(shù)分別是，，由于甲所在班級少一名學(xué)生參賽，故甲答對一題得15分，乙答對一題得10分，求甲乙兩人得分之和的期望.

【答案】（1）；（2）50

【解析】

（1）由題意可知共答對3題可以分為3種情況：甲答對1題乙答對2題；甲答對2題乙答對1題；甲答對3題乙答對0題．由此能求出甲、乙兩位同學(xué)總共正確作答3個題目的概率．

（2）的所有取值有1，2，3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出，由題意可知，故．利用，得．

解：（1）由題意可知共答對3題可以分為3種情況：甲答對1題乙答對2題；甲答對2題乙答對1題；甲答對3題乙答對0題.故所求的概率

（2）的所有取值有1，2，3

，，，故

由題意可知，故.而，

所以

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【題目】每逢節(jié)日，電商之間的價格廝殺已經(jīng)不是什么新鮮事，今年的6月18日也不例外.某電商在6月18日之后，隨機(jī)抽取100名顧客進(jìn)行回訪，按顧客的年齡分成6組，得到如下頻數(shù)分布表：

顧客年齡

頻數(shù)

4

24

32

20

16

4

（1）在下表中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；

（2）用分層抽樣的方法從這100名顧客中抽取25人，再從抽取的25人中隨機(jī)抽取2人，求年齡在內(nèi)的顧客人數(shù)的分布列、數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知自變量為的函數(shù)的極大值點為，，為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若，證明：有且僅有2個零點；

（2）若，，，…，為任意正實數(shù)，證明：.

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【題目】唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)軍營所在平面區(qū)域為{(x,y)|x2+y2≤},河岸線所在直線方程為x+2y-4=0.假定將軍從點P(,)處出發(fā),只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營,當(dāng)將軍選擇最短路程時,飲馬點A的縱坐標(biāo)為______.最短總路程為______

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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是（t是參數(shù)）.在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線.

（1）當(dāng)，時，求直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）當(dāng)時，若直線l與曲線C相交于A，B兩點，設(shè)，且，求直線l的傾斜角.

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【題目】已知定圓，動圓過點且與圓相切，記動圓圓心的軌跡為.

（1）求軌跡的方程

（2）若軌跡上存在兩個不同點，關(guān)于直線對稱，求面積的最大值（為坐標(biāo)原點）.

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【題目】已知函數(shù).

(1)若，求函數(shù)在點處的切線方程；

(2)討論的單調(diào)性；

(3)若函數(shù)在上無零點，求的取值范圍.

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【題目】新冠肺炎疫情期間，為了減少外出聚集，“線上買菜”受追捧.某電商平臺在地區(qū)隨機(jī)抽取了位居民進(jìn)行調(diào)研，獲得了他們每個人近七天“線上買菜”消費總金額（單位：元），整理得到如圖所示頻率分布直方圖.

（1）求的值；

（2）從“線上買菜”消費總金額不低于元的被調(diào)研居民中，隨機(jī)抽取位給予獎品，求這位“線上買菜”消費總金額均低于元的概率；

（3）若地區(qū)有萬居民，該平臺為了促進(jìn)消費，擬對消費總金額不到平均水平一半的居民投放每人元的電子補(bǔ)貼.假設(shè)每組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，試根據(jù)上述頻率分布直方圖，估計該平臺在地區(qū)擬投放的電子補(bǔ)貼總金額.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與相切于第二象限的點，與交于，兩點，且，求直線的傾斜角.

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