Question

18．先閱讀下面的推理過程，然后完成下面問題：
在等式cos2x=2cos²x-1（x∈R）的兩邊對(duì)x求導(dǎo)，即（cos2x）′=（2cos²x-1）′；
由求導(dǎo)法則得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx）化簡(jiǎn)后得等式sin2x=2sinxcosx．
（Ⅰ）已知等式（1+x）ⁿ=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$x+${C}_{n}^{2}$x²+…+${C}_{n}^{n-1}$x^n-1+${C}_{n}^{n}$xⁿ（x∈R，整數(shù)n≥2），證明：n[（1+x）^n-1-1]=$\sum_{k=2}^{n}$k${C}_{n}^{k}$x^k-1；
（Ⅱ）設(shè)n∈N^*，x∈R，已知（2+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，令b_n=$\frac{n（{n}^{2}+1）（{a}_{0}-{2}^{n-1}）}{{a}_{1}+2{a}_{2}+3{a}_{3}+…+n{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對(duì)等式（1+x）ⁿ=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$x+${C}_{n}^{2}$x²+…+${C}_{n}^{n-1}$x^n-1+${C}_{n}^{n}$xⁿ的x求導(dǎo)，整理即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）先求出a₀的值，再對(duì)等式中的x求導(dǎo)，利用特殊值求出b_n的通項(xiàng)公式，從而求出數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)．

解答 解：（Ⅰ）證明：在等式（1+x）ⁿ=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$x+${C}_{n}^{2}$x²+…+${C}_{n}^{n-1}$x^n-1+${C}_{n}^{n}$xⁿ（x∈R，整數(shù)n≥2）
的兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得：
n（1+x）^n-1=${C}_{n}^{1}$+2${C}_{n}^{2}$x+…+（n-1）${C}_{n}^{n-1}$x^n-2+n${C}_{n}^{n}$x^n-1，
移項(xiàng)，得：n[（1+x）^n-1-1]=$\sum_{k=2}^{n}$k${C}_{n}^{k}$x^k-1；
（Ⅱ）由等式（2+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
得a₀=2ⁿ，
再兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得：
n（2+x）^n-1=a₁+2a₂x+…+na_nx^n-1；
令x=1，得：a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n×3^n-1；
則b_n=$\frac{n（{n}^{2}+1）（{a}_{0}-{2}^{n-1}）}{{a}_{1}+2{a}_{2}+3{a}_{3}+…+n{a}_{n}}$=$\frac{n{（n}^{2}+1）{×2}^{n-1}}{n{×3}^{n-1}}$=（n²+1）×${（\frac{2}{3}）}^{n-1}$；
又b_n+1-b_n=[（n+1）²+1]×${（\frac{2}{3}）}^{n}$-（n²+1）×${（\frac{2}{3}）}^{n-1}$
=${（\frac{2}{3}）}^{n-1}$×$\frac{{-n}^{2}+4n+1}{3}$，
得：n≤4時(shí)，b_n+1＞b_n，n≥5時(shí)，b_n+1＜b_n；
所以數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)為b₅=${（\frac{2}{3}）}^{4}$×26=$\frac{416}{81}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了類比推理的應(yīng)用問題，也考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，考查了等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．