Question

11．如圖1，在邊長為1的等邊三角形ABC中，M，N分別是AB，AC邊上的點，AM=AN，D是BC的中點，AD與MN交于點E，將△ABD沿AD折起，得到如圖2所示的三棱錐A-BCD，其中BC=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$． 

（1）證明：CD⊥平面ABD
（2）當(dāng)AM=$\frac{2}{3}$時，求三棱錐D-MEN的體積V_D-MEN．

Answer 1

分析 （1）由$BD=DC=\frac{1}{2}$，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用勾股定理的逆定理可得CD⊥BD．利用AD⊥BD，AD⊥DC，可得AD⊥平面BCD，即可證明．
（2）由（1）可得：ED=$\frac{1}{3}$．由于EM∥BD，EN∥CD，可得△EMN∽△DBC，利用相似三角形的性質(zhì)可得S_△EMN=$\frac{4}{9}$S_△DBC．三棱錐D-MEN的體積V_D-MEN=$\frac{1}{3}{S}_{EMN}$×ED，即可得出．

解答 （1）證明：∵$BD=DC=\frac{1}{2}$，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴BD²+DC²=BC²，∴CD⊥BD．
∵AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC=D，
∴AD⊥平面BCD，
∴平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
∴CD⊥平面ABD．
（2）解：由（1）可得：ED=$\frac{1}{3}$．
∵EM∥BD，EN∥CD，
∴△EMN∽△DBC，
∴$\frac{{S}_{△EMN}}{{S}_{△DBC}}$=$（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{9}$，
∴S_△EMN=$\frac{4}{9}$S_△DBC=$\frac{4}{9}$×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{18}$．
∴三棱錐D-MEN的體積V_D-MEN=$\frac{1}{3}{S}_{EMN}$×ED
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{18}×\frac{1}{3}$
=$\frac{1}{162}$．

點評 本題考查了空間線面面面的位置關(guān)系、相似三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．