Question

6．已知圓M：x²+（y-1）²=1，圓N：x²+（y+1）²=1，直線l₁、l₂分別過圓心M、N，且l₁與圓M相交于A、B，l₂與圓N相交于C、D，P是橢圓$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}$=1上的任意一動點，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 6

Answer 1

分析 如圖所示，圓心M（0，1），N（0，-1）即為橢圓的焦點．$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$，可得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=${\overrightarrow{PM}}^{2}$-1，$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=${\overrightarrow{PN}}^{2}$-1，由于|PM|+|PN|=4，利用2（${\overrightarrow{PM}}^{2}$+${\overrightarrow{PN}}^{2}$）≥$（|\overrightarrow{PM}|+|\overrightarrow{PN}|）^{2}$，即可得出．

解答 解：如圖所示，
圓心M（0，1），N（0，-1）即為橢圓的焦點．
$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=${\overrightarrow{PM}}^{2}$+$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=${\overrightarrow{PM}}^{2}$-1，
$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=${\overrightarrow{PN}}^{2}$-1，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=${\overrightarrow{PM}}^{2}$+${\overrightarrow{PN}}^{2}$-2，
∵|PM|+|PN|=4，
∴2（${\overrightarrow{PM}}^{2}$+${\overrightarrow{PN}}^{2}$）≥$（|\overrightarrow{PM}|+|\overrightarrow{PN}|）^{2}$=16，當(dāng)且僅當(dāng)|PM|=|PN|=2時取等號．
∴${\overrightarrow{PM}}^{2}$+${\overrightarrow{PN}}^{2}$≥8，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=${\overrightarrow{PM}}^{2}$+${\overrightarrow{PN}}^{2}$-2≥6，
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量的三角形法則、基本不等式的性質(zhì)、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．