Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當(dāng)20≤≤200時，車流速度是車流密度的一次函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)0≤≤200時，求函數(shù)的表達(dá)式；

（Ⅱ）當(dāng)車流密度為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時可以達(dá)到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）．

 

Answer 1

（1）當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大值，最大值約為3333輛/小時．

【解析】

試題分析：（1）利用基本不等式解決實際問題時，應(yīng)先仔細(xì)閱讀題目信息，理解題意，明確其中的數(shù)量關(guān)系，并引入變量，依題意列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函數(shù)的最值時，若用基本不等式時，等號取不到時，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解；（3）基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)的大小或證明不等式，解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點，選擇好利用基本不等式的切入點.

試題解析：【解析】
（Ⅰ） 由題意：當(dāng)時，=60；當(dāng)時，設(shè)

再由已知得，解得

故函數(shù)的表達(dá)式為

（Ⅱ）依題并由（Ⅰ）可得

當(dāng)時，為增函數(shù)，故當(dāng)時，其最大值為60×20=1200

當(dāng)時，

當(dāng)且僅當(dāng)x=200﹣x，即x=100時，等號成立．

所以，當(dāng)時，在區(qū)間上取得最大值

綜上所述，當(dāng)，在區(qū)間上取得最大值

即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大值，最大值約為3333輛/小時．

答：（Ⅰ） 函數(shù)的表達(dá)式

（Ⅱ） 當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大值，最大值約為3333輛/小時．

考點：（1）由題意列函數(shù)關(guān)系式；（2）利用基本不等式求最值.