Question

2．某商場搞促銷，規(guī)定顧客購物達(dá)到一定金額可抽獎(jiǎng)，最多有三次機(jī)會(huì)，每次抽中，可依次分別獲得20元、30元、50元獎(jiǎng)金，顧客每次抽中后，可以選擇帶走所得獎(jiǎng)金，結(jié)束抽獎(jiǎng)；也可以選擇繼續(xù)抽獎(jiǎng)，若有任何一次沒有抽中，則連同前面所得獎(jiǎng)金也全部歸零，結(jié)束抽獎(jiǎng)，設(shè)顧客甲第一次、第二次、第三次抽中的概率分別為$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，選擇繼續(xù)抽獎(jiǎng)的概率均為$\frac{1}{2}$，且每次是否抽中互不影響．
（Ⅰ）求顧客甲第一次抽中，但所得獎(jiǎng)金為零的概率；
（Ⅱ）設(shè)該顧客所得獎(jiǎng)金總數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）顧客甲第一次抽中，但所得獎(jiǎng)金為零包含兩種情況：①第一次抽中第二次沒有抽中，②第一次第二次都抽中，第三次沒有抽中，由此能求出顧客甲第一次抽中，但所得獎(jiǎng)金為零的概率．
（Ⅱ）由題意得X的可能取值為0，20，50，100，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）顧客甲第一次抽中，但所得獎(jiǎng)金為零包含兩種情況：
①第一次抽中第二次沒有抽中，
②第一次第二次都抽中，第三次沒有抽中，
∴顧客甲第一次抽中，但所得獎(jiǎng)金為零的概率：
p=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×（1-\frac{2}{3}）+\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{16}$．
（Ⅱ）由題意得X的可能取值為0，20，50，100，
P（X=0）=（1-$\frac{3}{4}$）+$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×（1-\frac{2}{3}）+\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{7}{16}$，
P（X=20）=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，
P（X=50）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=100）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{16}$，
∴X的分布列為：

X	0	20	50	100
P	$\frac{7}{16}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$

EX=$0×\frac{7}{16}+20×\frac{3}{8}+50×\frac{1}{8}+100×\frac{1}{16}$=20．

點(diǎn)評 本題考查古典概型及應(yīng)用，考查概率的計(jì)算，考查計(jì)數(shù)原理，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是正確理解離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，是中檔題．