Question

設曲線y=（ax-1）e^x在點A（x₀，y₁）處的切線為l₁，曲線y=（1-x）e^-x在點B（x₀，y₂）處的切線為l₂，若存在，使得l₁⊥l₂，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：函數(shù)y=（ax-1）e^x的導數(shù)為y′=（ax+a-1）e^x，
∴l(xiāng)₁的斜率為k₁=（ax₀+a-1）e^x₀，
函數(shù)y=（1-x）e^-x的導數(shù)為y′=（x-2）e^-x
∴l(xiāng)₂的斜率為k₂=（x₀-2）e^-x₀，
由題設有k₁•k₂=-1從而有（ax₀+a-1）e^x₀•（x₀-2）e^-x₀=-1
∴a（x₀²-x₀-2）=x₀-3
∵x0∈[0，]得到x₀²-x₀-2≠0，所以a=，
又a′=，令導數(shù)大于0得1＜x₀＜5，
故a=在（0，1）是減函數(shù)，在（1，）上是增函數(shù)，
x₀=0時取得最大值為=；
x₀=1時取得最小值為1．
∴1≤a≤
故實數(shù)a的取值范圍為：1≤a≤．
分析：根據(jù)曲線方程分別求出導函數(shù)，把A和B的橫坐標x₀分別代入到相應的導函數(shù)中求出切線l₁和切線為l₂的斜率，然后根據(jù)兩條切線互相垂直得到斜率乘積為-1，列出關于等式由x0∈[0，]解出a=，然后根據(jù)為減函數(shù)求出其值域即可得到a的取值范圍．
點評：本題是一道綜合題，考查學生會利用導數(shù)求切線的斜率，會求函數(shù)的值域，以及直線的一般式方程與直線的垂直關系．