Question

設(shè)曲線(xiàn)y=（ax-1）e^x在點(diǎn)A（x₀，y₁）處的切線(xiàn)為l₁，曲線(xiàn)y=（1-x）e^-x在點(diǎn)B（x₀，y₂）處的切線(xiàn)為l₂，若存在x0∈[0 ， 

3

2

]，使得l₁⊥l₂，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)曲線(xiàn)方程分別求出導(dǎo)函數(shù)，把A和B的橫坐標(biāo)x₀分別代入到相應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)中求出切線(xiàn)l₁和切線(xiàn)為l₂的斜率，然后根據(jù)兩條切線(xiàn)互相垂直得到斜率乘積為-1，列出關(guān)于等式由x0∈[0，

3

2

]解出a=

x0-3

x 2 0 - x   0 -2

，然后根據(jù)

x0-3

x 2 0 - x   0 -2

為減函數(shù)求出其值域即可得到a的取值范圍．

解答：解：函數(shù)y=（ax-1）e^x的導(dǎo)數(shù)為y′=（ax+a-1）e^x，
∴l(xiāng)₁的斜率為k₁=（ax₀+a-1）e^x₀，
函數(shù)y=（1-x）e^-x的導(dǎo)數(shù)為y′=（x-2）e^-x
∴l(xiāng)₂的斜率為k₂=（x₀-2）e^-x₀，
由題設(shè)有k₁•k₂=-1從而有（ax₀+a-1）e^x₀•（x₀-2）e^-x₀=-1
∴a（x₀²-x₀-2）=x₀-3
∵x0∈[0，

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]得到x₀²-x₀-2≠0，所以a=

x0-3

x 2 0 - x   0 -2

，
又a′=

-(x0-1)(x0-5)

( x 2 0 -x0-2)2

，令導(dǎo)數(shù)大于0得1＜x₀＜5，
故a=

x0-3

x 2 0 - x   0 -2

在（0，1）是減函數(shù)，在（1，

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）上是增函數(shù)，
x₀=0時(shí)取得最大值為

0-3

02-0-2

=

3

2

；
x₀=1時(shí)取得最小值為1．
∴1≤a≤

3

2

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為：1≤a≤

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)的斜率，會(huì)求函數(shù)的值域，以及直線(xiàn)的一般式方程與直線(xiàn)的垂直關(guān)系．