Question

已知點P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)左支上的一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線的左、右焦點，∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，雙曲線離心率為e，則

tan a 2

tan β 2

=（　　）

A． e-1 e+1

B． e+1 e-1

C． e2+1 e2-1

D． e2-1 e2+1

Answer 1

依題意，在△PF₁F₂中，由正弦定理得：

|PF2|

sinα

=

|PF1|

sinβ

=

|F2F1|

sin[180°-(α+β)]

與合比定理得：

|F2F1|

sin[180°-(α+β)]

=

|PF2|-|PF1|

sinβ-sinα

，即

2c

sin(α+β)

=

2a

sinβ-sinα

，
∴e=

c

a

=

sin(α+β)

sinβ-sinα

=

2sin α+β 2 cos α+β 2

2cos α+β 2 sin β-α 2

=

sin α+β 2

sin β-α 2

=

sin α 2 cos β 2 +cos α 2 sin β 2

sin β 2 cos α 2 -cos β 2 sin α 2

=

tan α 2 +tan β 2

tan β 2 -tan α 2

，
∴tan

α

2

=

e-1

e+1

•tan

β

2

，
∴

tan a 2

tan β 2

=

e-1

e+1

．
故選A．