Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-cx，x∈[-1，1]．
（I）若a=4，c=3，求證：對(duì)任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1；
（II）若對(duì)任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1，求證：|a|≤4．

Answer 1

分析：（I）把a(bǔ)=4，c=3，代入求得f（x）的解析式，由題意先對(duì)函數(shù)y進(jìn)行求導(dǎo)，解出極值點(diǎn)，然后再根據(jù)函數(shù)的定義域，把極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)值代入已知函數(shù)，比較函數(shù)值的大小，求出函數(shù)的最值，從而求證；
（II）對(duì)f（x）求導(dǎo)，解出極值點(diǎn)為，代入求出函數(shù)的最值，再根據(jù)|f（x）|≤1，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解，從而證得|a|≤4．

解答：證明：（I）由a=4，c=3，得f（x）=4x3-3x，
于是f′（x）=12x²-3，
令f′（x）=0，可得x=±

1

2

，
∴當(dāng)-1＜x＜-

1

2

或

1

2

＜x＜1，時(shí)f′（x）＞0，
當(dāng)-

1

2

＜x＜

1

2

時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，-

1

2

），（

1

2

，1），減區(qū)間（-

1

2

，

1

2

），
又f（-1）=-1，f（-

1

2

）=1，f（1）=1，f（

1

2

）=-1，
故對(duì)任意x∈[-1，1]，恒有-1≤f（x）≤1，
即對(duì)任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1．（7分）
（II）證明：由f（x）=ax³-cx可得，
f（1）=a-c，f（

1

2

）=

a

8

-

c

2

，
因此f（1）-2f（

1

2

）=

3a

4

，
由|

3a

4

|=|f（1）-2f（

1

2

）|≤|f（1）|+2|f（

1

2

）|
又對(duì)任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1，
∴|

3a

4

|≤3，可得|a|≤4．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力．