Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$-x+alnx（a∈R）（e=2.71828…是一個(gè)無(wú)理數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）在定義域上不單調(diào)，求a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x₁和x₂，記過(guò)點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的直線斜率為k，若k≤$\frac{2e}{e^2-1}$•a-2恒成立，求a的取值集合．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，令g（x）=x²-ax+1，其判別式△=a²-4．討論①當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，②當(dāng)a＜-2時(shí)，③當(dāng)a＞2時(shí)，由導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得到a的范圍；
（2）運(yùn)用韋達(dá)定理可得a=x₁+x₂=x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$＞2，作差f（x₁）-f（x₂），再由條件，結(jié)合恒成立思想，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{1}{x}$-x+$\frac{{e}^{2}-1}{e}$•lnx（x＞1），通過(guò)求導(dǎo)，判斷單調(diào)性可得x₂≥e，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-1+$\frac{a}{x}$=-$\frac{{x}^{2}-ax+1}{{x}^{2}}$，
令g（x）=x²-ax+1，其判別式△=a²-4．
①當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，△≤0，f′（x）≤0，
故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意．
②當(dāng)a＜-2時(shí)，△＞0，g（x）=0的兩根都小于零，
故在（0，+∞）上，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意．
③當(dāng)a＞2時(shí)，△＞0，設(shè)g（x）=0的兩個(gè)根x₁，x₂都大于零，
令x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，x₁x₂=1，
當(dāng)0＜x＜x₁時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞x₂時(shí)，f′（x）＜0，
故f（x）分別在（0，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞減，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞增，
綜上所述，a的取值范圍是（2，+∞）．
（2）依題意及（1）知，a=x₁+x₂=x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$＞2，
∵f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-x₁+alnx₁-（$\frac{1}{{x}_{2}}$-x₂+alnx₂）
=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+（x₂-x₁）+a（lnx₁-lnx₂），
∴k=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$-1+a•$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-2+a•$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$．
若k≤$\frac{2e}{{e}^{2}-1}$•a-2，
則-2+a•$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$≤$\frac{2e}{{e}^{2}-1}$•a-2，
∴$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$≤$\frac{2e}{{e}^{2}-1}$，
不妨設(shè)x₁＜x₂，則x₁-x₂≤$\frac{{e}^{2}-1}{2e}$（lnx₁-lnx₂）．又x₁=$\frac{1}{{x}_{2}}$，
∴$\frac{1}{{x}_{2}}$-x₂≤$\frac{{e}^{2}-1}{2e}$（-2lnx₂），
∴$\frac{1}{{x}_{2}}$-x₂+$\frac{{e}^{2}-1}{e}$lnx₂≤0（x₂＞1）①恒成立．
記F（x）=$\frac{1}{x}$-x+$\frac{{e}^{2}-1}{e}$•lnx（x＞1），F(xiàn)′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-1+$\frac{{e}^{2}-1}{e}$•$\frac{1}{x}$，
記x₁′=$\frac{1}{2}$[$\frac{{e}^{2}-1}{e}$-$\sqrt{（\frac{{e}^{2}-1}{e}）^{2}-4}$]，x₂′═$\frac{1}{2}$[$\frac{{e}^{2}-1}{e}$+$\sqrt{（\frac{{e}^{2}-1}{e}）^{2}-4}$]，
由（1）③知F（x）在（1，x₂′）上單調(diào)遞增，在（x₂′，+∞）上單調(diào)遞減，
且易知0＜x₁′＜1＜x₂′＜e．又F（1）=0，F(xiàn)（e）=0，
所以，當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，F(xiàn)（x）＞0；當(dāng)x∈[e，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）≤0．
故由①式可得，x₂≥e，代入方程g（x₂）=x₂²-ax₂+1=0，
得a=x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$≥e+$\frac{1}{e}$（∵a=x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$在x₂∈[e，+∞）上遞增）．
又a＞2，所以a的取值集合是{a|a≥e+$\frac{1}{e}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查極值的運(yùn)用，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用和基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于難題．