Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+a．
（1）若對任意的實數(shù)x都有f（1+x）=f（1-x）成立，求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當x∈[-1，1]時，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由對任意的實數(shù)x都有f（1+x）=f（1-x）成立，可知：函數(shù)f（x）的對稱軸為x=1，即可得出a．
（2）函數(shù)f（x）=x²-2ax+a的圖象的對稱軸為直線x=a．根據(jù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，得a≤1．
（3）函數(shù)圖象開口向上，對稱軸x=a，對a分類討論即可得出．

解答 解：（1）由對任意的實數(shù)x都有f（1+x）=f（1-x）成立，可知：函數(shù)f（x）的對稱軸為x=1，即a=1．
（2）函數(shù)f（x）=x²-2ax+a的圖象的對稱軸為直線x=a．
y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，得，a≤1．
（3）函數(shù)圖象開口向上，對稱軸x=a，
當a＜0時，x=1時，函數(shù)取得最大值為：f（x）_max=1-a．
當a＞0時，x=-1時，函數(shù)取得最大值為：f（x）_max=1+3a．
當a=0時，x=±1時，函數(shù)取得最大值為：f（x）_max=1．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．