Question

20．已知橢圓C的兩焦點分別為${F_1}（{-2\sqrt{2}，0}），{F_2}（{2\sqrt{2}，0}）$，長軸長6．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知過點（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C與A、B兩點，求線段AB的長度．

Answer 1

分析 （1）由c=2$\sqrt{2}$，a=3，b²=a²-c²=1，即可求得橢圓C的標準方程；
（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式即可求得線段AB的長度．

解答 解：（1）由為${F_1}（{-2\sqrt{2}，0}），{F_2}（{2\sqrt{2}，0}）$，
焦點在x軸上，設(shè)橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），c=2$\sqrt{2}$，
長軸長為6，2a=6，a=3，b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的標準方程$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）可知橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$①，∵AB的方程為y=x+2，②
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化簡并整理得10x²+36x+27=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{18}{5}$，x₁x₂=$\frac{27}{10}$，
又丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{1}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{18}{5}）^{2}-4×\frac{27}{10}}$=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，
線段AB的長度$\frac{6\sqrt{3}}{5}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，弦長公式，考查計算能力，屬于中檔題．