Question

17．2016世界特色魅力城市200強(qiáng)新鮮出爐，包括黃山市在內(nèi)的28個(gè)中國(guó)城市入選．美麗的黃山風(fēng)景和人文景觀迎來眾多賓客．現(xiàn)在很多人喜歡自助游，某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解“自助游”是否與性別有關(guān)，在黃山旅游節(jié)期間，隨機(jī)抽取了100人，得如下所示的列聯(lián)表：

	贊成“自助游”	不贊成“自助游”	合計(jì)
男性	30
女性		10
合計(jì)			100

（1）若在100這人中，按性別分層抽取一個(gè)容量為20的樣本，女性應(yīng)抽11人，請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整（在答題卡上直接填寫結(jié)果，不需要寫求解過程），并據(jù)此資料能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05前提下，認(rèn)為贊成“自助游”是與性別有關(guān)系？
（2）若以抽取樣本的頻率為概率，從旅游節(jié)游客中隨機(jī)抽取3人贈(zèng)送精美紀(jì)念品，記這3人中贊成“自助游”人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：K²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{a+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （1）根所給數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表，利用公式求得K²，與臨界值比較，即可得到結(jié)論．
（2）X的所有可能取值為：0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，即可得到X的分布列、數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）

	贊成“自助游”	不贊成“自助游”	合計(jì)
男性	30	15	45
女性	45	10	55
合計(jì)	75	25	100

將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入計(jì)算，得K²的觀測(cè)值：$K=\frac{{100×{{（{30×10-45×15}）}^2}}}{45×55×75×25}=\frac{100}{33}≈3.030$，
∵3.030＜3.841，∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05前提下，不能認(rèn)為贊成“自助游”與性別有關(guān)系．
（2）X的所有可能取值為：0，1，2，3，依題意$X～B（{3，\frac{3}{4}}），P（{X=i}）=C_3^i•{（{\frac{3}{4}}）^i}•{（{\frac{1}{4}}）^{3-i}}，（{i=0，1，2，3}）$，X的分布列為：

X	0	1	2	3
P（X）	$\frac{1}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$

$E（X）=np=\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)，考查分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．