Question

已知曲線y=

ex

x

，則過原點(diǎn)O的曲線的切線斜率為

e2

4

．

Answer 1

分析：求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)曲線方程設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，把設(shè)出的切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中表示出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線的斜率，由切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率表示出切線方程，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程中即可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo)和切線的斜率．

解答：解：對(duì)y=

ex

x

求導(dǎo)得：y′=

exx-ex

x2

，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，

ex0

x0

），
所以切線的斜率k=

ex0x0-ex0

x02

，則切線方程為：y-

ex0

x0

=

ex0x0-ex0

x02

（x-x₀），
把原點(diǎn)（0，0）代入切線方程得：x₀=2，
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，

e2

2

），斜率為

e2

4

，
故答案為：

e2

4

點(diǎn)評(píng)：本題的解題思想是設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入曲線方程的導(dǎo)函數(shù)中求出切線的斜率，進(jìn)而寫出切線方程，然后把原點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而確定出切線的斜率，屬于中檔題．