Question

已知橢圓G經(jīng)過點P(

3

，

1

2

)，且一個焦點為(-

3

，0)．過點（m，0）作圓x²+y²=1的切線l交橢圓G于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓的方程，利用橢圓G經(jīng)過點P(

3

，

1

2

)，且一個焦點為(-

3

，0)，建立方程，求得幾何量，即可求得橢圓G的方程；
（Ⅱ）由題意知，|m|≥1，分類討論：當m=±1時，|AB|=

3

；當|m|＞1時，設l的方程代入橢圓方程，利用韋達定理，及l(fā)與圓x²+y²=1相切，可表示|AB|，利用基本不等式可求最值，從而可得結論．

解答：解：（Ⅰ）由題意，設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵橢圓G經(jīng)過點P(

3

，

1

2

)，且一個焦點為(-

3

，0)．
∴

3

a2

+

1

4b2

=1，a²-b²=3
∴a²=4，b²=1
∴橢圓G的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）由題意知，|m|≥1
當m=±1時，切線l的方程為x=±1，此時|AB|=

3

；
當|m|＞1時，設l為y=k（x-m），代入橢圓方程可得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0
設A、B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x₁x₂=

4k2m2-4

1+4k2

∵l與圓x²+y²=1相切，∴

|km|

k2+1

=1，即m²k²=k²+1
∴|AB|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3 |m|

m2+3

=

4 3

|m|+ 3 |m|

≤2（當且僅當m=±

3

時取等號）
∴|AB|的最大值為2．

點評：本題考查橢圓的性質(zhì)與標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查弦長的計算，考查韋達定理的運用，正確運用韋達定理是關鍵．