Question

 

如圖, 矩形中, , , 現(xiàn)以矩形的邊為軸, 的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系, 是軸上方一點(diǎn), 使得、與線段分別交于點(diǎn)、, 且成等比數(shù)列．

   （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

   （2）求動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過作交的延長(zhǎng)線于，交的延長(zhǎng)線于．

在中, , 得，

得．　　　　　　　　　

在中, ,

得．　　　　　　　　　　

同理可得．　　　　　　　

∵ 成等比數(shù)列，

∴ ．

∴ ．

化簡(jiǎn)得．

∴ 動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．　　　

   （2）由圖易知當(dāng)與直線平行的直線與半橢圓相切于點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線距離的最大．

設(shè)與直線平行的直線方程為，代入，

得 ，①　　　　　　　　　　　　　　　　

由，

解得，由，得．　　　　　　　　　　　　　　　

故點(diǎn)到直線距離的最大值為．　　　　　

把代入①式，可解得點(diǎn)的坐標(biāo)為．