Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，直線l：x=8與x軸交于點(diǎn)T₀，T為l上異于T₀的任意一點(diǎn)，直線TA₁，TA₂分別與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，則直線MN恒過定點(diǎn)$（\frac{1}{2}，0）$．

Answer 1

分析 如圖所示，A₁（-2，0），A₂（2，0）．設(shè)T（8，t）（t≠0）．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直線TA₁，TA₂的方程分別為：$y=\frac{t}{10}（x+2）$，y=$\frac{t}{6}$（x-2），分別與橢圓方程聯(lián)立可得x₁，x₂，進(jìn)而得到y(tǒng)₁，y₂，可得直線MN的方程，即可證明．

解答 解：如圖所示，A₁（-2，0），A₂（2，0）．
設(shè)T（8，t）（t≠0）．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
直線TA₁，TA₂的方程分別為：$y=\frac{t}{10}（x+2）$，y=$\frac{t}{6}$（x-2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{t}{10}（x+2）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為（25+t²）x²+4t²x+4t²-100=0，
可得-2x₁=$\frac{4{t}^{2}-100}{25+{t}^{2}}$，化為x₁=$\frac{50-2{t}^{2}}{25+{t}^{2}}$，y₁=$\frac{t}{10}（{x}_{1}+2）$=$\frac{10t}{25+{t}^{2}}$．
同理可得：x₂=$\frac{2{t}^{2}-18}{9+{t}^{2}}$，y₂=$\frac{t}{6}（{x}_{2}-2）$=$\frac{-6t}{9+{t}^{2}}$．
∴直線MN的方程為：y-y₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}（x-{x}_{1}）$，令y=0，
化為x=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}-{y}_{2}{x}_{1}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．
∴直線MN恒過定點(diǎn)$（\frac{1}{2}，0）$．
故答案為：$（\frac{1}{2}，0）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得一元二次方程及其根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)斜式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．