Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=3^n-1+a_n-1（n∈N^*，n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{2n•a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）運用恒等式a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1），結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到；
（2）求得2n•a_n=n•3ⁿ-n，運用錯位相減法和分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，化簡即可得到所求．

解答 解：（1）a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+3+3²+…+3^n-1=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$；
（2）2n•a_n=n•3ⁿ-n，
前n項和S_n=（1•3+2•3²+…+n•3ⁿ）-（1+2+3+…+n），
設(shè)S=1•3+2•3²+…+n•3ⁿ，
3S=1•3²+2•3³+…+n•3ⁿ⁺¹，
相減可得-2S=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹，
化簡可得S=$\frac{3+（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$，
則有S_n=$\frac{3+（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項和求和，注意運用累加法和數(shù)列的求和方法：分組求和和錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．