Question

13．已知一族集合A₁，A₂，…，A_n具有性質(zhì)：
（1）每個(gè)A_i含有30個(gè)元素；
（2）對(duì)每一對(duì)i，j：1≤i＜j≤n，A_i∩A_j都是單元集；
（3）A₁∩A₂∩…∩A_n=∅．
求使這樣的集合族存在的最大的正整數(shù)n．

Answer 1

分析 反證法證明具有某個(gè)相同元素的集合最多只有30個(gè)，即可得出結(jié)論．

解答 解：可以假設(shè)對(duì)A_i，A_i+1，…A_i+k，這（k+1）個(gè)集合彼此的交集都為同一元素a（即a是它們的公共元素），那么按性質(zhì)3，當(dāng)k最大時(shí)，a就不能出現(xiàn)在其他集合中．再結(jié)合性質(zhì)2，不在該子族的另外的集合至少有k+1個(gè)元素，故有30≥k+1，所以k的最大值為29，也就是含有相同元素的集合至多有30．
為了使n最大，不妨假設(shè)這n個(gè)集合中恰好有30個(gè)含有相同元素的集合，去掉相同元素a后，這30個(gè)集合中每個(gè)集合都有29個(gè)元素，而其他集合中含有的與上述30個(gè)集合相同的元素的最多有29×29加上前面的30個(gè)，共有841+30=871．
所以使這樣的集合族存在的最大的正整數(shù)n是871．

點(diǎn)評(píng) 本題考查集合的表示，考查集合性質(zhì)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度大．