Question

18．設(shè)f（$\frac{a+2b}{3}$）=$\frac{f（a）+2f（b）}{3}$且f（1）=1，f（4）=7，則f（2014）=4027．

Answer 1

分析 根據(jù)題意和賦值法求出f（2）=3，f（3）=5，歸納出f（n）=2n-1，并利用數(shù)學(xué)歸納法證明，由此能求出f（2014）的值．

解答 解：由題意得，f（$\frac{a+2b}{3}$）=$\frac{f（a）+2f（b）}{3}$，且f（1）=1，f（4）=7，
∴令a=4，b=1，f（2）=f（$\frac{4+2×1}{3}$）=$\frac{f（4）+2f（1）}{3}$=3，
同理令a=1，b=4，f（3）=$\frac{f（1）+2f（4）}{3}$=5，
則f（1）=1，f（2）=3，f（3）=5，f（4）=7，…，f（n）=2n-1，
證明可用歸納法：①當(dāng)n=1時，成立；
②假設(shè)f（n）=2n-1（n≥2）成立，
則f（n-1）=f（$\frac{n+1+2（n-2）}{3}$）=$\frac{f（n+1）+2f（n-2）}{3}$
=$\frac{1}{3}$[f（n+1）+2f（n-2）]=2（n-1）-1=2n-3，
所以f（n+1）=3f（n-1）-2f（n-2）=3（2n-3）-2[2（n-2）-1]
=6n-9-（4n-10）=2n+1=2（n+1）-1，
綜上可得，f（n）=2n-1，
所以f（2014）=2×2014-1=4027，
故答案為：4027．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)值的求法，歸納推理，以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于中檔題．