Question

已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足：，且

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）已知圓W： 的切線與軌跡相交于P，Q兩點(diǎn)，求證：以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).

 

Answer 1

（1）；（2）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）針對(duì)點(diǎn)的位置：點(diǎn)在線段上、點(diǎn)在軸上且在線段外、點(diǎn)不在軸上進(jìn)行分類確定點(diǎn)的軌跡，前兩種只須簡(jiǎn)單的檢驗(yàn)即可，當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，在中，應(yīng)用余弦定理得，化簡(jiǎn)得到，再根據(jù)圓錐曲線的定義，可知動(dòng)點(diǎn)在以為兩焦點(diǎn)的橢圓上，由橢圓的相關(guān)參數(shù)即可寫出橢圓的方程，最后綜合各種情況寫出所求軌跡的方程；（2）先驗(yàn)證直線斜率不存在與斜率為0的情形，然后再證明直線斜率存在且不為0的情況，此時(shí)先設(shè)直線，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立直線與軌跡的方程，消去得到，進(jìn)而求出及，得到，利用直線與圓相切得到，代入式子中，即可得到，從而問題得證.

試題解析：（1）①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)

不存在或，均不滿足題目條件 1分

②當(dāng)點(diǎn)在軸上且在線段外時(shí)，

，設(shè)

由可得∴∴ 3分

③當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，

在中，由余弦定理得

，即動(dòng)點(diǎn)在以為兩焦點(diǎn)的橢圓上

方程為：（）

綜和①②③可知：動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為： 6分

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)

∵直線與圓相切，故切線方程為或

切線方程與聯(lián)立方程組

可求得為或為

則以為直徑的圓的方程為，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)

②當(dāng)直線的斜率為零時(shí)

與①類似，

可求得以為直徑的圓的方程為，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) 10分

③當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)設(shè)直線的方程為

由消去得

設(shè)，則

∴

∴①

∵直線和圓相切

∴圓心到直線的距離，整理得②

將②式代入①式，得，顯然以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)

綜上可知，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) 14分.

考點(diǎn)：1.軌跡的求法；2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3.直線與圓的位置關(guān)系；4.直線與圓錐曲線的綜合問題.