Question

11．（1）化簡下式：$\frac{\sqrt{{a}^{3}^{2}•\root{3}{a^{2}}}}{（{a}^{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}）^{4}•\root{3}{\frac{a}}}$（a＞0，b＞0）；
（2）已知x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$，求下列各式的值：
①$\frac{{x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}+2}{{x}^{2}+{x}^{-2}}$+3； 
②x²-x^-2．

Answer 1

分析 （1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．
（2）x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$，可得x+x^-1=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2，x²+x^-2=（x+x^-1）²-2，$x-{x}^{-1}=±\sqrt{（x-{x}^{-1}）^{2}}$=$±\sqrt{（x+{x}^{-1}）^{2}-4}$，代入即可得出．

解答 解：（1）原式=$\frac{{a}^{（3+\frac{1}{3}）×\frac{1}{2}}^{（2+\frac{2}{3}）×\frac{1}{2}}}{{a}^{\frac{1}{4}×4-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}×4+\frac{1}{3}}}$=${a}^{\frac{5}{3}-\frac{2}{3}}$$^{\frac{4}{3}-\frac{7}{3}}$=ab^-1．
（2）∵x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$，∴x+x^-1=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2=5-2=3，x²+x^-2=（x+x^-1）²-2=7，$x-{x}^{-1}=±\sqrt{（x-{x}^{-1}）^{2}}$=$±\sqrt{（x+{x}^{-1}）^{2}-4}$=±$\sqrt{5}$．
∴①原式=$\frac{（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）（x-1+{x}^{-1}）+2}{{x}^{2}+{x}^{-2}}$+3=$\frac{\sqrt{5}（3-1）+2}{7}$+3=$\frac{23+2\sqrt{5}}{7}$．
②原式=（x+x^-1）（x-x^-1）=$±3\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)、乘法公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．