Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax²+|x-a|（a∈R）
（1）當(dāng)a=0時(shí)，寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；
（3）試討論關(guān)于x的方程f（x）=x³的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）將a=0代入，結(jié)合一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）將a=1代入，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到函數(shù)的最小值；
（3）當(dāng)x=a時(shí)，滿足條件；當(dāng)x＞a時(shí)，原方程可化為：（x²-1）（x-a）=0，解得：x=-1，或x=1； 當(dāng)x＜a時(shí)，原方程可化為：（x²+1）（x-a）=0，此時(shí)方程組無解；討論a與±1的大小關(guān)系，可得方程f（x）=x³的解的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，數(shù)f（x）=|x|=$\left\{\begin{array}{l}-x，x＜0\\ x，x≥0\end{array}\right.$，
則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0]；單調(diào)遞增區(qū)間為[0，+∞）；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x+1，x＜1\\{x}^{2}+x-1，x≥1\end{array}\right.$，
函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{2}$]；單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{1}{2}$，+∞）；
故當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取最小值$\frac{3}{4}$；
（3）令f（x）=x³，
則ax²+|x-a|=x³，
即x²（x-a）-|x-a|=0，
當(dāng)x=a時(shí)，滿足條件；
當(dāng)x＞a時(shí)，原方程可化為：（x²-1）（x-a）=0，解得：x=-1，或x=1；
當(dāng)x＜a時(shí)，原方程可化為：（x²+1）（x-a）=0，此時(shí)方程組無解；
∴a≥1時(shí)，方程f（x）=x³有1個(gè)解；
-1≤a＜1時(shí)，方程f（x）=x³有2個(gè)解；
a＜-1時(shí)，方程f（x）=x³有3個(gè)解；

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，方程根的個(gè)數(shù)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．