Question

如圖，ABCD是邊長為2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED＝1，EF∥BD且EF＝BD．

(1)求證：BF∥平面ACE；

(2)求證：平面EAC⊥平面BDEF

(3)求幾何體ABCDEF的體積．

 

 

Answer 1

(1)見解析；(2)見解析；(3)2

【解析】試題分析：(1)利用線線平行，推證線面平行；(2)利用一個面內一條直線與另一個平面垂直，則這兩個平面垂直，證明面面垂直；(3)將不規(guī)則幾何體轉化為主題或椎體的體積求解．

試題解析：(1)證明：記AC與BD的交點為O，則DO＝BO＝BD，連接EO，

∵EF∥BD且EF＝BD，

∴EF∥BO且EF＝BO，則四邊形EFBO是平行四邊形，

∴BF∥EO，

又∵面ACE，面ACE，

∴BF∥平面ACE；

(2)證明：∵ED⊥平面ABCD，平面ABCD，∴ED⊥AC．

∵ABCD為正方形，∴BD⊥AC，

又ED∩BD＝D，∴AC⊥平面BDEF，

又平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDEF；

(3)【解析】
∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD，

又∵EF∥BD且EF＝BD，∴BDEF是直角梯形，

又∵ABCD是邊長為2的正方形，BD＝2，EF＝，

∴題型BDEF的面積為，

由(1)知AC⊥平面BDEF，

∴幾何體的體積VABCDEF＝2VA－BDEF＝2×SBDEF·AO＝．

考點：空間直線與平面位置關系，幾何體的體積