【題目】過P(2,1)且兩兩互相垂直的直線l1 , l2分別交橢圓 + =1于A,B與C,D.
(1)求|PA||PB|的最值;
(2)求證: + 為定值.

【答案】
(1)解:設(shè)直線l1的傾斜角為θ,則l1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))

代入橢圓的方程 中,整理得:(cos2θ+4sin2θ)t2+(4cosθ+8sinθ)t﹣8=0,

∴由韋達(dá)定理可知:tAtB=﹣

∴|PA||PB|= = ,

故|PA||PB|的最大值為8,最小值為2


(2)解:∵l1⊥l2,不妨設(shè)l1的傾斜角小于l2的傾斜角,

則l2的傾斜角為 +θ,

因此直線l2的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))

代入橢圓的方程 + =1,

整理得:(sin2θ+4cos2θ)t2+4(2cosθ﹣sinθ)t﹣8=0,

∴|PC||PD|=丨tCtD丨= ,

+ = + = ,

+ 為定值


【解析】(1)由題意設(shè)出直線l1的參數(shù)方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理求得tAtB=﹣ ,由|PA||PB|= = ,根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)即可求得|PA||PB|的最值;(2)由l1⊥l2 , 求得l2的參數(shù)方程,并根據(jù)韋達(dá)定理求得|PC||PD|=丨tCtD丨= ,表示出 + ,根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求證 + 為定值.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】盒中有6只燈泡,其中2只次品,4只正品,有放回地從中任取兩次,每次取一只,試求下列事件的概率:
(1)取到的2只都是次品;
(2)取到的2只中正品、次品各一只;
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(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓C的參數(shù)方程為,(t為參數(shù)),在以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為,A,B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為.

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【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)是否存在實(shí)數(shù),使函數(shù)上有最小值2?若存在,求出的值,若不存在,請說明理由.

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【題目】已知命題函數(shù)上是減函數(shù),命題 ,

(1)若為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)若“”為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+ax+d的圖象過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)M(﹣1,f(﹣1))處的切線程為6x﹣y+7=0.

(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;

(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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(1)求此函數(shù)的解析式;

(2)求此函數(shù)在(﹣2π,2π)上的遞增區(qū)間.

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