【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)是否存在實數(shù),使函數(shù)
在
上有最小值2?若存在,求出
的值,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)減區(qū)間為,增區(qū)間為
;(2)存在
,最小值是
.
【解析】
試題分析:(1)借助題設(shè)條件運用導數(shù)的有關(guān)知識求解;(2)借助題設(shè)運用導數(shù)知識分類探求.
試題解析:
(1),
,
,
令,得
,
令,得
,
的單調(diào)遞減區(qū)間為
,單調(diào)遞增區(qū)間為
.………………………………4分
(2),
,
(i)當,
恒成立,即
在
上單調(diào)遞增,無最小值,不滿足題意.
(ii)當,令
,得
,
所以當時,
,當
時,
,
此時在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
若,則函數(shù)
在
上的最小值
,
由得
,滿足
,符合題意;
若,則函數(shù)
在
上的最小值
,
由得
,不滿足
,不符合題意,舍.
綜上可知,存在實數(shù),使函數(shù)
在
上有最小值2.………………………………12分
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)
的極值和單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間上至少存在一點
,使得
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
.
(1)若是函數(shù)
的極值點,求實數(shù)
的值;
(2)若對任意的(
為自然對數(shù)的底數(shù))都有
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為
,橢圓
過點
,直線
交
軸于
,且
,
為坐標原點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是橢圓
的上頂點,過點
分別作直線
交橢圓
于
,
兩點,設(shè)這兩條直線的斜率分別為
,且
,證明:直線
過定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
為常數(shù),
),且數(shù)列
是首項為2,公差為2的等差數(shù)列.
(1)若,當
時,求數(shù)列
的前
項和
;
(2)設(shè),如果
中的每一項恒小于它后面的項,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一個不透明的盒子中,放有標號分別為,
,
,
的四個大小相同的小球,現(xiàn)從這個盒子中,有放回地先后取得兩個小球,其標號分別為
,
.
(1)求事件的概率;
(2)求事件的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一個長方體的平面展開圖及該長方體的直觀圖的示意圖如圖所示.
(1)請將字母標記在長方體相應(yīng)的頂點處(不需說明理由);
(2)在長方體中,判斷直線與平面
的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)在長方體中,設(shè)的中點為
,且
,
,求證:
平面
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1是四棱錐的直觀圖,其正(主)視圖和側(cè)(左)視圖均為直角三角形,俯視圖外框為矩形,相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2所示.
(1)設(shè)中點為
,在直線
上找一點
,使得
平面
,并說明理由;
(2)若二面角的平面角的余弦值為
,求四棱錐
的外接球的表面積.
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