Question

9．△ABC中，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，DE∥BC，且與邊AC相交于點(diǎn)E，△ABC的中線(xiàn)AM與DE相交于點(diǎn)N，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$分別表示向量$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{DE}$、$\overrightarrow{DB}$、$\overrightarrow{EC}$、$\overrightarrow{DN}$、$\overrightarrow{AN}$．

Answer 1

分析 由平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理及中線(xiàn)的定義知，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{EC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{DN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BM}=\frac{1}{8}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}[\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）]$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：如圖，△ABC中，
∵$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，DE∥BC，且與邊AC相交于點(diǎn)E，
△ABC的中線(xiàn)AM與DE相交于點(diǎn)N，
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{4}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，
$\overrightarrow{DB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{EC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$，
$\overrightarrow{DN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BM}=\frac{1}{8}\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{8}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，
$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}[\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）]$=$\frac{1}{8}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$．
∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow-\overrightarrow{a}$，
$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{4}（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）$，$\overrightarrow{DB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{a}$，
$\overrightarrow{EC}=\frac{3}{4}\overrightarrow$，$\overrightarrow{DN}=\frac{1}{8}（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）$，$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{8}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的加法法則的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理的靈活運(yùn)用．