Question

已知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），且

5

|AB|=2，
（1）求cos（α-β）的值；
（2）設(shè)α∈（0，

π

2

），β∈（

-π

2

，0），且cos（

5π

2

-β）=-

-5

13

，求sinα的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）首先以兩點間的距離公式為突破口，求出兩角差的余弦值．
（2）根據(jù)角的取值范圍，進一步確定（α-β）的范圍，然后求出相應的（α-β），β的正余弦值然后通過α=（α-β）+β求的結(jié)果．

解答： 解：（1）已知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），且

5

|AB|=2，
∴

(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

=

2 5

5

∴2-2cos（α-β）=

4

5

，
∴cos（α-β）=

3

5

（2）∵α∈（0，

π

2

），β∈（-

π

2

，0）
∴0＜α-β＜π
由（1）得cos（α-β）=

3

5

∴sin（α-β）=

4

5

∵cos（

5π

2

-β）=-

5

13

∴sinβ=-

5

13

  cosβ=

12

13

sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=

33

65

故答案為：（1）cos（α-β）=

3

5

（2）sinα=

33

65

點評：本題考查的知識點：兩點間的距離公式，兩角和差的余弦值．角的恒等變型問題．