Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，公差d≠0，且第二項、第四項、第十四項分別是等比數(shù)列{b_n}的第二項、第三項、第四項
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=16+a_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）用首項和公差表示等差數(shù)列的第二項、第四項、第十四項，由等差數(shù)列的第二項、第四項、第十四項分別是等比數(shù)列{b_n}的第二項、第三項、第四項，利用等比中項概念列式求得首項和公差的關(guān)系，則公差可求，等差數(shù)列的通項公式可求，進一步求出a₂，a₄，a₁₄后可求等比數(shù)列的通項公式；
（2）把（1）中求得的a_n代入c_n=16+a_n，然后可得數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列，寫出其前n項和后利用配方求其最大值．

解答：解：（1）在等差數(shù)列{a_n}中，a₂=a₁+d，a₄=a₁+3d，a₁₄=a₁+13d，
因為a₂，a₄，a₁₄分別是等比數(shù)列{b_n}的第二項、第三項、第四項，
所以，a42=a2a14，即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+13d)，4d²=-8a₁d．
因為公差d≠0，所以d=-2a₁．
因為a₁=1，所以d=-2．
所以a_n=a₁+（n-1）d=1-2（n-1）=3-2n．
由b₂=a₂=3-2×2=-1，b₃=a₄=3-2×4=-5，
所以，q=

b3

b2

=

-5

-1

=5，b1=

b2

q

=

-1

5

=-

1

5

．
則bn=b1qn-1=(-

1

5

)×5n-1=-5n-2．
（2）由c_n=16+a_n=16+3-2n=19-2n，
則c_n-1=19-2（n-1）=21-2n（n≥2），
 所以，c_n-c_n-1=（19-2n）-（21-2n）=-2（n≥2），
c₁=19-2×1=17．
則數(shù)列{c_n}是首項為17，公差為-2的等差數(shù)列，
則S_n=nc1+

n(n-1)d

2

=17n+

-2n(n-1)

2

=-n2+18n
=-（n-9）²+81．
所以當n=9時，S₉=81最大．

點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列前n項和最大值的求法，利用配方或二次函數(shù)的對稱軸找出使二次函數(shù)取得最值的n若為非正的自然數(shù)，n應(yīng)取離對稱軸近的正的自然數(shù)，此題是中檔題．