Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（1-

1

n+1

）a_n，（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=

1

an

，是否存在正數(shù)M使2ⁿ•b₁•b₂…b_n≥M•

2n+1

•（2b₁-1）•（2b₂-1）…（2b_n-1）對一切n∈N^*都成立？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）把已知的數(shù)列遞推式變形，得到數(shù)列{na_n}為常數(shù)列，結(jié)合數(shù)列的首項即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由b_n=

1

an

求得b_n，代入2ⁿ•b₁•b₂…b_n≥M•

2n+1

•（2b₁-1）•（2b₂-1）…（2b_n-1）分離變量M后放縮，然后利用導數(shù)求出函數(shù)f（x）=

2x

2x+1

（x＞0）的單調(diào)性，由單調(diào)性求得最小值，則可求得使2ⁿ•b₁•b₂…b_n≥M•

2n+1

•（2b₁-1）•（2b₂-1）…（2b_n-1）對一切n∈N^*都成立的一個正數(shù)M．

解答： 解：（1）由a_n+1=（1-

1

n+1

）a_n，得an+1=

n

n+1

an，
即（n+1）a_n+1=na_n，
∴數(shù)列{na_n}為常數(shù)列．
∵a₁=1，
∴na_n=a₁=1，則an=

1

n

；
（2）b_n=

1

an

=n，
2ⁿ•b₁•b₂…b_n=2ⁿ•n!，

2n+1

•（2b₁-1）•（2b₂-1）…（2b_n-1）=

2n+1

•（1×3×5×…×2n-1），
若存在正數(shù)M使2ⁿ•b₁•b₂…b_n≥M•

2n+1

•（2b₁-1）•（2b₂-1）…（2b_n-1）對一切n∈N^*都成立，
即M≤

2n•n!

2n+1 •[1×3×5×…×(2n-1)]

=

2×4×6×…×2n

2n+1 •[1×3×5×…×(2n-1)]

＜

2n

2n+1

，
設函數(shù)f（x）=

2x

2x+1

（x＞0），
則f′(x)=

2x• 2x+1 •ln2-2x• 1 2x+1

2x+1

=

2x( 2x+1 •ln2- 1 2x+1 )

2x+1

=

2x• (2x+1)ln2-1 2x+1

2x+1

＞0．
∴f（x）=

2x

2x+1

（x＞0）為增函數(shù)，
由f（1）=

2

2×1+1‘

=

2 3

3

．
∴取M=

2 3

3

時，有M≤

2n

2n+1

．
即2ⁿ•b₁•b₂…b_n≥M•

2n+1

•（2b₁-1）•（2b₂-1）…（2b_n-1）對一切n∈N^*都成立．

點評：本題考查了數(shù)列不等式的綜合，考查了等比數(shù)列的判斷，訓練了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓練了放縮法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．