Question

14．已知函數(shù)f（x）=2cosx•cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（C）=$\frac{1}{2}$，c=2$\sqrt{3}$，且△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，對f（x）=2cosx•cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$化簡可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），利用周期計算公式計算可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意f（C）=$\frac{1}{2}$，由（1）可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），代入可得sin（2C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，解可得C的值，又由△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，結(jié)合正弦定理可得ab=8，①；再結(jié)合余弦定理可得a²+b²=20，②；聯(lián)立兩個式子可得a+b=6，又由c的值，計算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，f（x）=2cosx•cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$
=2cosx-（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
則其周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（Ⅱ）根據(jù)題意，若f（C）=$\frac{1}{2}$，即sin（2C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又由$\frac{π}{6}$＜2C+$\frac{π}{6}$+$\frac{13π}{6}$，則2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
即C=$\frac{π}{3}$，
又由△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，
即S=$\frac{1}{2}$absinC=2$\sqrt{3}$，變形可得ab=8，①
又由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC可得a²+b²-ab=12，
又由①可得：a²+b²=20，②
聯(lián)立①、②可得：a+b=6，
又由c=2$\sqrt{3}$，故△ABC的周長為6+2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變形的應(yīng)用，涉及余弦定理、正弦定理的運用，關(guān)鍵是正確進行三角函數(shù)恒等變形，化簡f（x）=2cosx•cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$．