Question

（2012•閘北區(qū)一模）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，過F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列．
（1）求證：|AB|=

4

3

a；
（2）若直線l的斜率為1，且點（0，-1）在橢圓C上，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的性質，結合橢圓的定義，即可證得結論；
（2）設出橢圓的方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，計算|AB|，利用（1）的結論，即可求得橢圓的標準方程．

解答：（1）證明：由題設，∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列，∴2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
由橢圓定義|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a，…（4分）
所以，|AB|=

4

3

a．…（2分）
（2）解：由點（0，-1）在橢圓C上，可設橢圓C的方程為

x2

a2

+y2=1(a＞1)，…（2分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-c，0），l：x=y-c，代入橢圓C的方程，整理得（a²+1）y²-2cy-1=0，（*）    …（2分）
則|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2(y1-y2)2=2[(y1+y2)2-4y1y2]=2[(

2c

a2+1

)2+

4

a2+1

]=

2

(a2+1)2

4[c2+a2+1]=

8

(a2+1)2

•2a2，
于是有

4

3

a=

4

a2+1

•a，…（4分）
解得a=

2

，故橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．       …（2分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查弦長的計算，解題的關鍵是利用橢圓的定義求弦長．