(2012•上海模擬)若函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽,滿足對任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),則稱f(x)為“V形函數(shù)”.
(1)當(dāng)f(x)=x2時(shí),判斷f(x)是否為V形函數(shù),并說明理由;
(2)當(dāng)f(x)=lg(x2+2)時(shí),證明:f(x)是V形函數(shù);
(3)當(dāng)f(x)=lg(2x+a)時(shí),若f(x)為V形函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)當(dāng)x1,x2同號時(shí),f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2),不滿足V形函數(shù)的定義,可判定;
(2)利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡整理,然后根據(jù)V形函數(shù)的定義判定即可;
(3)根據(jù)V形函數(shù)的定義建立不等關(guān)系,轉(zhuǎn)化成a(2x1+x2)+a2-a≥0對任意x1,x2∈R恒成立,然后討論a的符號,解之即可.
解答:解:(1)當(dāng)f(x)=x2時(shí),f(x1+x2)=x12+x22+2x1x2,f(x1)+f(x2)=x12+x22,
當(dāng)x1,x2同號時(shí),f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2),不滿足V形函數(shù)的定義,
故當(dāng)f(x)=x2時(shí),f(x)不是V形函數(shù);
(2)當(dāng)f(x)=lg(x2+2)時(shí)f(x1+x2)=lg[(x1+x22+2]=lg(x12+x22+2x1x2+2),
f(x1)+f(x2)=lg(x12+2)+lg(x22+2)=lg[2(x12+x22)+x12x22+4]
∴滿足對任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),則f(x)=lg(x2+2)為“V形函數(shù)”.
(3)當(dāng)f(x)=lg(2x+a)時(shí),若f(x)為V形函數(shù)
則f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),
即lg(2x1+x2+a)≤lg(2x1+a)+lg(2x2+a)=lg[2x1+x2+a(2x1+x2)+a2]
∴a(2x1+x2)+a2-a≥0對任意x1,x2∈R恒成立
當(dāng)a=0時(shí),成立,當(dāng)a<0時(shí)不成立,當(dāng)a>0時(shí),a≥(1-2x1+x2max
∴a≥1或a=0
點(diǎn)評:本題主要考查了函數(shù)恒成立問題,以及對數(shù)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識,同時(shí)考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.
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