Question

（2013•北京）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞減的是（　�。�

• A．y=

  1

  x

• B．y=e^-x
• C．y=-x²+1
• D．y=lg|x|

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)y=

1

x

是奇函數(shù)，得A項(xiàng)不符合題意；根據(jù)函數(shù)y=e^-x是非奇非偶函數(shù)，得B項(xiàng)不符合題意；根據(jù)二次函數(shù)y=-x²+1的圖象是開(kāi)口向下的拋物線且關(guān)于y軸對(duì)稱，得到C項(xiàng)符合題意；根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)y=lg|x|在（0，+∞）上是增函數(shù)，可得D項(xiàng)不符合題意．

解答：解：對(duì)于A，函數(shù)y=

1

x

滿足f（-x）=-

1

x

=-f（x），
可得函數(shù)是奇函數(shù)，且不是偶函數(shù)，可得A項(xiàng)不符合題意；
對(duì)于B，函數(shù)y=e^-x不滿足f（-x）=f（x），得函數(shù)不是偶函數(shù)，可得B項(xiàng)不符合題意；
對(duì)于C，函數(shù)y=-x²+1滿足f（-x）=-（-x）²+1=-x²+1=f（x），
∴函數(shù)y=-x²+1是R上的偶函數(shù)
又∵函數(shù)y=-x²+1的圖象是開(kāi)口向下的拋物線，關(guān)于y軸對(duì)稱
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)．故C項(xiàng)符合題意
對(duì)于D，因?yàn)楫?dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù)y=lg|x|=lgx，底數(shù)10＞1
所以函數(shù)y=lg|x|在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞增的函數(shù)，可得D項(xiàng)不符合題意．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出幾個(gè)基本初等函數(shù)，要我們找出其中的偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)減的函數(shù)，著重考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)單調(diào)性與奇偶性等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．