已知數(shù)列數(shù)學(xué)公式,數(shù)學(xué)公式,數(shù)學(xué)公式,…,數(shù)學(xué)公式,…,計(jì)算S1,S2,S3,根據(jù)計(jì)算結(jié)果,猜想Sn的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

解:S1==,S2=+=,
S3=++=----------(4分)
猜想:Sn=----------------------------(6分)
證明:(1)當(dāng)n=1 時(shí),由上面計(jì)算知結(jié)論正確.
(2)假設(shè)n=k時(shí)等式成立,即Sk=,
當(dāng)n=k+1時(shí),Sk+1=Sk+ak+1=+
===
∴當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立,
由(1),(2)知,等式對(duì)任意正整數(shù)都成立-------------------------(14分).
分析:由題意得S1=a1,由S2=a1+a2求得S2,同理求得 S3,S4.猜想猜想Sn=,n∈N+,用數(shù)學(xué)歸納法證明,檢驗(yàn)n=1時(shí),猜想成立;假設(shè)Sk=,則當(dāng)n=k+1時(shí),由條件可得當(dāng)n=k+1時(shí),也成立,從而猜想仍然成立.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,用歸納法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)的基本步驟:(1)檢驗(yàn)n=1成立(2)假設(shè)n=k時(shí)成立,由n=k成立推導(dǎo)n=k+1成立,要注意由歸納假設(shè)到檢驗(yàn)n=k+1的遞推.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列an是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,Sn是an的前n項(xiàng)和,且S6=9S3,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是( 。
A、2n-1B、21-nC、31-nD、3n-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2,nan+1=Sn+n(n+1),
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=
Sn2n
,如果對(duì)一切正整數(shù)n都有bn≤t,求t的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=an+n(n∈N*),數(shù)列bn滿足b1=1,(n+2)bn+1=nbn(n∈N*),數(shù)列cn滿足c1=1,
c1
1
+
c2
22
+…+
cn
n2
=
cn+1
n+1
(n∈N*
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列cn的通項(xiàng)公式;
(3)是否存在正整數(shù)k使得k(an+
7
2
)-
3
bn+1
cn+6n+15
對(duì)一切n∈N*恒成立,若存在求k的最小值;若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Tn=
S1+S2+…+Sn
n
,稱Tn為數(shù)列a1,a2,…an的“理想數(shù)”,已知數(shù)列a1,a2,…a500的“理想數(shù)”為2004,那么數(shù)列2,a1,a2,…a500的“理想數(shù)”為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列
2
、
6
10
、
14
、3
2
…那么7
2
是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)(  )
A、23B、24C、19D、25

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